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江苏十一选五走势图基本走势:分析一類非線性剛性有效的數值求解方法研究

江苏十一选五号码遗漏 www.pypna.com 來源:UC論文網2015-12-27 22:54

摘要:

導讀::針對一類非線性化程度差別較大的剛性系統,改變以往采用的Newton-Raphson迭代方法,引入Brown算法解決此類非線性剛性系統的數值求解問題。數值試驗結果表明,Brown算法對于解決

導讀::針對一類非線性化程度差別較大的剛性系統,改變以往采用的Newton-Raphson迭代方法,引入Brown算法解決此類非線性剛性系統的數值求解問題。數值試驗結果表明,Brown算法對于解決該類問題的有效性。
論文關鍵詞:剛性系統,Brown算法,數值求解

  1 引 言
  剛性微分方程存在于航空、航天、熱核反應、自動控制、電子網絡及化學動力學等許多重要科學技術領域及實際問題中[1,2],由于方程的解中既包含有衰減十分迅速的分量,又包含有相對來說變化緩慢的分量,兩者的差別可以有好幾個數量級,在選定計算方法時帶來很大實質困難。實際研究證明,由于數值解穩定性限制,求解剛性微分方程主要采用隱式方法,如:隱式RK方法,BDF方法,IRK方法等。而采用隱式方法將剛性方程離散化以后,其變為線性或非線性方程(組)的求解問題。目前,對線性或非線性方程(組)的求解,多采用Newton-Raphson迭代求解。但對于某些非線性方程組,由于方程之間的非線性化程度相差較大,采用Newton-Raphson迭代方法數值求解的結果并不理想。本文利用Brown算法求解此類非線性剛性系統,具有較高精度和較快迭代速度的優點,數值試驗結果表明了該方法的有效性。
  2 Brown算法
  考慮多個實變量的非線性方程組
  剛性系統(2.1)
  的數值求解問題,非線性方程組可以用向量形式表示:,其中,。
  形如:剛性系統的公式稱為Newton-Raphson迭代公式。由于該方法是將,同時線性化,所以它并未考慮充分利用的具體結構。如果一個非線性的向量函數,其線性精度在各個分量,上的分布可能是不平衡的,有的分量是非線性函數,而有的分量是線性函數,同時非線性函數組中也有非線性程度高低的差別,在此情況下,利用Newton-Raphson迭代方法對所有分量采用完全相同的數值處理,不利于方法整體計算效率的提高。
  針對以上情況,Brown于1969年提出了按分量函數方程,來形成迭代過程[3],其基本思想是對各分量逐個線性化并用其中每一個線性方程消去余下非線性方程中的一個變量,最后整個方程組就簡化為一個僅含單個變量的非線性方程,應用一次單步Newton-Raphson迭代并結合逐一回代,即完成一次迭代過程[4]。
  Brown算法的迭代步驟如下:
  第一步,設為方程組(2.1)解的第次近似,函數處近似用線性函數
  剛性系統
  替代,令,由此求出: 
  
  定義上式右端為。
  第二步,對函數定義一個新函數Brown算法,且記,其中。類似地,用線性函數來近似替代。令,解出,
  此時,個變量的線性函數,并記此線性函數為。
  第步,由線性函數,可得,利用Newton-Raphson迭代,求得,并由出發,利用逐一回代,即 
  (2.2)
  從而可求出,至此完成了一次Brown迭代過程。
  3 數值試驗
  考慮以下常微分方程組初值問題:
  問題1 
  其中:;。
  問題2
  其中:;。
  對于上述兩問題,當時,可計算其右函數組的Jacobi矩陣的特征值,均有,其余特征值絕對值均不超過6,因此系統呈強剛性。此外,觀察兩問題中的右函數組,可以看出除最后一個函數是高度非線性化外,其余函數都是線性的。
  對于上述兩問題,采用隱式Euler方法離散方程組,并分別用Newton-Raphson迭代法與Brown迭代法求解,取步長,及相對誤差界表示迭代次數)控制每步迭代,最后得到數值解的最大絕對誤差界,方程真解為:問題1,,,;問題2,,,。計算結果對比分析如表1所示。
    表1 數值計算結果
  

問題1

問題2

Newton-Raphson迭代次數

迭代18次收斂

不收斂,

Brown迭代次數

迭代7次收斂

迭代8次收斂

數值解的絕對誤差

(Newton-Raphson迭代)

3.83e+001

溢出

數值解的絕對誤差

(Brown迭代)

1.44e-002

3.82e-002

4、結束語
   對于實際問題中的剛性系統離散化后,如果非線性方程組的線性化程度不同,Brown迭代求解比Newton-Raphson迭代法具有較大的優勢,另外需要指出的是在實際運算中,方程應預先進行排列,將線性方程放置在最前,再次為非線性化程度由低到高排列,可以有效的提高運算效率。

參考文獻:
[1]李壽佛.剛性微分方程算法理論[M]. 長沙: 湖南科學技術出版社,1997.
[2]劉德貴,費景高.剛性大系統數字仿真方法[M].鄭州: 河南科學技術出版社,1994.
[3]Brown,K.M.A Quadratically Convergent Newton-like Method Based on GaussianElimination[J],SIAMJ.Numer.Anal.,1969,(6):560~569.
[4]Van der Houwen,P.J.,Sommeijer,B.P.,Iterated Runge-KuttaMethods on Parallel Computers,SIAMJ.SCI.STAT.COMPUT 12:5(1991):1000~1028

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